Exercice 4 corrigé

	Licence de démographie:	*Analyse statistique bivariée*	Travaux pratiques
	Exercice 4 (corrigé)
[Régression à partir des données observées] [Régression à partir des données transformées]

Régression linéaire (transformation des données):

Prix de vin en gros en 1972 selon les millésimes

L'analyse de données brutes donne: Fig.1 Prix de vin en 1972 selon les millésimes (régression: Ŷ = - 0.63 X + 122.48)	Le même analyse des données transformées donne: Fig.2 Prix de vin en 1972 selon les millésimes *(régression: Ŷ = exp[0.03(1972-X) + 1.4]**
Source: "The Chicago Maroon" vendredi 10 novembre 1972

Analyse des données brutes:

1. Variable X => l'an de récolte (millésime) . Variable Y => le prix de vin en gros

2. Calculer le millésime "moyen" et le prix moyen.

3. Calculer les variance et la covariance .

4. Estimer les paramètres de la régression et le coefficient de corrélation et le rapport de détermination

Voila la présentation de vos calculs dans l'Excel

# d'obser-	Année	Prix	X-Xbar	Y-Ybar	(X-Xbar)²	(Y-Ybar)²	A*B	Valeurs	Varience
vation	X	Y	A	B	C	D	E	estimées	residuelle	Expliquée
1	1890	50.00	-45.64	35.44	2083.27	1255.89	-1617.52	43.19	46.44	819.33
2	1900	35.00	-35.64	20.44	1270.41	417.74	-728.49	36.91	3.66	499.64
3	1920	25.00	-15.64	10.44	244.70	108.96	-163.29	24.37	0.40	96.24
4	1930	11.00	-5.64	-3.56	31.84	12.68	20.10	18.10	50.41	12.52
5	1934	15.00	-1.64	0.44	2.70	0.19	-0.72	15.59	0.35	1.06
6	1935	13.00	-0.64	-1.56	0.41	2.44	1.00	14.96	3.86	0.16
7	1940	6.98	4.36	-7.58	18.98	57.48	-33.03	11.83	23.51	7.47
8	1941	10.00	5.36	-4.56	28.70	20.81	-24.44	11.20	1.44	11.29
9	1944	5.99	8.36	-8.57	69.84	73.47	-71.63	9.32	11.09	27.47
10	1948	8.96	12.36	-5.60	152.70	31.38	-69.22	6.81	4.61	60.05
11	1950	6.98	14.36	-7.58	206.13	57.48	-108.85	5.56	2.02	81.07
12	1952	4.99	16.36	-9.57	267.56	91.61	-156.56	4.30	0.47	105.23
13	1955	5.98	19.36	-8.58	374.70	73.64	-166.11	2.42	12.66	147.37
14	1960	4.98	24.36	-9.58	593.27	91.80	-233.38	-0.71	32.42	233.33
Moyenne	1935.64	14.56	0.00	0.00	381.80	163.97	-239.44	14.56	13.81	150.16

Le rapport de détermination est élevé, mais la valeur estimée pour l'année 1960 est négative (voir la figure 1). Cela n'est pas bon.

Apparemment le lien entre le millésime et le prix n'est pas tout à fait linéaire. Est-t-il possible de résoudre le problème en transformant nos données?

Transformation des données

1. Transformons le millésime en âge. La nouvelle variable explicative sera X'=1972-X.

2. Transformons le prix en logarithme de prix pour essayer résoudre le problème de non linéarité. La nouvelle variable dépendante sera Y' = ln(Y)

3. Refaisons les calculs avec ces deux nouvelles variables:

	Ancienne variables		Nouvelles variables
# d'obser-	Année	Prix	Age	ln (Prix)	X'-X'bar	Y'-Y'bar	(X'-X'bar)²	(Y'-Y'bar)²	A*B	Valeur	Variance		Prix estimé
vation			X'	Y'	A	B	C	D	E	estimée de Y'	résiduelle	expliquée	exp(ŷ')
1	1890	50.00	82	3.91	45.64	1.52	2083.27	2.30	69.24	3.97	0.00	2.48	53.00
2	1900	35.00	72	3.56	35.64	1.16	1270.41	1.35	41.36	3.63	0.00	1.51	37.53
3	1920	25.00	52	3.22	15.64	0.82	244.70	0.68	12.89	2.93	0.08	0.29	18.82
4	1930	11.00	42	2.40	5.64	0.00	31.84	0.00	0.02	2.59	0.04	0.04	13.33
5	1934	15.00	38	2.71	1.64	0.31	2.70	0.10	0.51	2.45	0.07	0.00	11.61
6	1935	13.00	37	2.56	0.64	0.17	0.41	0.03	0.11	2.42	0.02	0.00	11.21
7	1940	6.98	32	1.94	-4.36	-0.45	18.98	0.20	1.97	2.24	0.09	0.02	9.44
8	1941	10.00	31	2.30	-5.36	-0.09	28.70	0.01	0.50	2.21	0.01	0.03	9.12
9	1944	5.99	28	1.79	-8.36	-0.60	69.84	0.37	5.06	2.11	0.10	0.08	8.22
10	1948	8.96	24	2.19	-12.36	-0.20	152.70	0.04	2.50	1.97	0.05	0.18	7.16
11	1950	6.98	22	1.94	-14.36	-0.45	206.13	0.20	6.49	1.90	0.00	0.25	6.68
12	1952	4.99	20	1.61	-16.36	-0.79	267.56	0.62	12.88	1.83	0.05	0.32	6.24
13	1955	5.98	17	1.79	-19.36	-0.61	374.70	0.37	11.74	1.73	0.00	0.45	5.62
14	1960	4.98	12	1.61	-24.36	-0.79	593.27	0.62	19.23	1.55	0.00	0.71	4.73
Moyenne	1935.64	14.56	36.36	2.39	0.00	0.00	381.80	0.49	13.18	2.39	0.04	0.45	14.48

la variance de la variable explicative n'a pas changé (sic!)

transformation logarithmique a diminué la variance (sic!)

le coefficient de corrélation reste inchangé après la transformation des données

le rapport de détermination reste inchangé après la transformation des données

Nouvelle équation de régression est

(Voir la figure 2)

Le problème des valeurs négatives est donc résolu!