Exercice 6 corrigé

Licence de démographie:	Analyse statistique bivariée	Travaux pratiques
Exercice 6 (corrigé)
*Analyse de tendance Analyse de saisonalité**

Chroniques: tendance et saisonnalité:

Voyageurs en TGV: décembre 2000 - novembre 2003

Source: INSEE http://www.indices.insee.fr/bsweb/servlet/bsweb?action=BS_SERIE&ONGLET=2&BS_IDBANK=049343391&BS_IDARBO=12120100000000

Transports - Voyageurs - SNCF (milliards de voyageurs-km) -Réseau TGV

Il faut commercer par créer le tableau de travail en remplacent les dates par les numéros d'ordre (1,2,3,...36).
Ce seront les valeurs de la variable explicative t.
La variable dépendante Y est le nombre de voyageurs-km (en milliards)

Tableau de travail

	T	Y	t²	y²	t y	ŷ = a t + b
	1	3.03	1	9.18	3.03	3.37
	2	3.37	4	11.36	6.74	3.36
	3	3.15	9	9.92	9.45	3.35
	4	3.55	16	12.60	14.20	3.34
	5	3.72	25	13.84	18.60	3.33
	6	3.09	36	9.55	18.54	3.32
	7	3.15	49	9.92	22.05	3.31
	8	3.48	64	12.11	27.84	3.31
	9	3.24	81	10.50	29.16	3.30
	10	3.08	100	9.49	30.80	3.29
	11	2.95	121	8.70	32.45	3.28
	12	3.28	144	10.76	39.36	3.27
	13	2.99	169	8.94	38.87	3.26
	14	3.29	196	10.82	46.06	3.25
	15	3.22	225	10.37	48.30	3.24
	16	3.51	256	12.32	56.16	3.23
	17	3.75	289	14.06	63.75	3.22
	18	3.44	324	11.83	61.92	3.21
	19	3.31	361	10.96	62.89	3.21
	20	3.44	400	11.83	68.80	3.20
	21	3.34	441	11.16	70.14	3.19
	22	3.04	484	9.24	66.88	3.18
	23	2.93	529	8.58	67.39	3.17
	24	3.24	576	10.50	77.76	3.16
	25	2.91	625	8.47	72.75	3.15
	26	3.09	676	9.55	80.34	3.14
	27	3.18	729	10.11	85.86	3.13
	28	3.5	784	12.25	98.00	3.12
	29	3.82	841	14.59	110.78	3.11
	30	3.38	900	11.42	101.40	3.11
	31	2.91	961	8.47	90.21	3.10
	32	2.9	1024	8.41	92.80	3.09
	33	2.76	1089	7.62	91.08	3.08
	34	2.8	1156	7.84	95.20	3.07
	35	2.7	1225	7.29	94.50	3.06
	36	3.01	1296	9.06	108.36	3.05
Somme	666.00	115.55	16206	373.63	2102.42	115.55
Moyenne	18.50	3.21	450.17	10.38	58.40	3.21

1. Analyse de tendance

Le tableau de travail donne la possibilité de calculer les statistiques (moyenne, variance et covariance) et, ensuite, calculer les paramètres de la droite de tendance.

Les moyennes

Les variances

et covariances:

Les paramètres de la ligne de tendance sont

Donc l'équation de tendance est

avec le rapport de détermination r²=0.11663

Puisque le coefficient de corrélation est

Sinon:

Dessiner le graphique avec la ligne de tendance et les valeurs observer (fig.1),
ensuite,
dessiner le graphique qui ne représentante que les fluctuations saisonnières (ou les écarts à la tendance - fig.2).

Fig. 1

Fig.2

Graphique 2 présente les fluctuations en état pure. On peut obtenir la même présentation sans passer par la régression, si on soustrait de chaque valeur observée une moyenne. (Fig.3) Les données pour ce graphique sont déjà disponible dans le tableau de travail.	On peut également présenter la tendance avec la moyenne mobile centrée. (Fig.4) Dans ce cas on perde quelques observations dans le début et à la fin de la période T.
Fig.3	Fig.4

2. Analyse de la saisonnalité

Dans cet exemple on peut utiliser le mois comme unité de base et une année comme une période.
Alors il faut calculer les moyenne pour chaque mois de calendrier, et ensuite calculer la valeur attendue
qui représente le nombre de voyageurs-km en absence de toute fluctuation saisonnière.
Ainsi le rapport entre les valeurs moyennes et les valeurs attendues sont les coefficients de saisonnalité (dans le cas d'un modèle multiplicatif).

		Distribution	multiplicateur ou	écart sais.=
Mois	moyenne	égalitaire	coef.saison	=(1- coef.sais)
décembre	3.1767	3.2097	0.9897	-0.0103
novembre	2.9767	3.2097	0.9274	-0.0726
octobre	3.2500	3.2097	1.0125	0.0125
septembre	3.1833	3.2097	0.9918	-0.0082
août	3.5200	3.2097	1.0967	0.0967
juillet	3.7633	3.2097	1.1725	0.1725
juin	3.3033	3.2097	1.0292	0.0292
mai	3.1233	3.2097	0.9731	-0.0269
avril	3.2733	3.2097	1.0198	0.0198
mars	3.1133	3.2097	0.9700	-0.0300
février	2.9733	3.2097	0.9264	-0.0736
janvier	2.8600	3.2097	0.8910	-0.1090
Somme	38.516667	38.51666667	12	0.0000

Les résultas sont présentés sur le graphique 5 à droite.

Pour améliorer la présentation on peut calculer "un écart saisonnier"
égale à 1-coefficient saisonnier.

Les résultat sont présentés sur le graphique 6.

Fig.5

Finalement on a utilisé un modèle multiplicatif
Y(i) = Tendance x Sm,
où Sm est coefficient saisonnier pour le mois m.

Graphique 7 montre comment ce modèle décrit les donnée.

On voit que les données sont suffisamment bien décrites par le modèle,

mais il existe toutefois les écarts entre les valeurs estimées et ceux observées.

Ces écarts sont les résidus (ε)qui peuvent être intégrés dans le modèle:
Y(i) = Tendance x Sm + ε

L'analyse des résidus est un problème particulier dans l'analyse statistique.

Le graphique 8 montre les résidus.

La moyenne des valeurs résidus ne s'élève que de 0.02% par rapport à la moyenne mensuelle pour toute la période de 36 mois. Il est rassurant qu'on ne voit sur le graphique aucune régularité des valeurs résiduelles.

Fig.7
Modèle multiplicative Y(i) = Tendance x Sm, et les valeurs observées

Fig.8
Les résidus du modèle.