Licence de démographie:

Analyse statistique bivariée

Travaux pratiques

Exercice 5 (corrigé)

Fréquence conditionnelle * Effectif attendu * Fréquence conditionnelle attendue * Statistique khi-carré *  Conclusion 1 * Mesures d'association * Coefficient de Pearson * Coefficient de Cramére * Conclusion 2 * Mesures d'association pour les tableau 2x2 

Logements: date d'emménagement selon l'âge de la personne de référence

Source: INSEE Alsace. Fiche profil "Logements: date d'emménagement"
Zone d'emploi: Molsheim-Schrimeck

 1. Calculer la fréquence conditionnelle en colonnes

    Apparemment, il existe l’association entre l’âge et la durée d’occupation d’un logement.

2. Calculer l'efffectif attendu:

On suppose que s’il n’y aucune relation entre les variables, les fréquences dans les cellules du tableau croisé doivent être proportionnelles aux valeurs marginales.

 Soit

n_ij – la fréquence (l’effectif) d’une cellule se trouvant sur le croisement de la ligne i et de la colonne j

m_ij – la fréquence (l’effectif) attendue dans la cellule se trouvant sur le croisement de la ligne i et de la colonne j, si les variables sont indépendantes ou « indifférentes »  l’une par rapport à l’autre. 

 Effectif attendu :

3. Calculer la fréquence conditionnelle en colonnes pour l'effectif attendu

Les structures de l'effectif attendu (fréquence conditionnelle en colonnes) sont les même (Sic!)

Or c'est la structure attendue sous la condition qu'il n'y a aucune association entre les variables

On sait que  χ² = khi – deux ou khi carré

  où O = n_{i j}  à effectif observé et  à effectif espéré (attendu).

 Formule développée

 ++   Calculer d'abord pour chaque cellule

++ Calculer ensuite pour la somme des valeurs

Nombre de dergés de liberté est égale à 10: on a trois modalités pour la variable "durée" et six modalités pour la variable "âge".

     DL = (n-1)(m-1) = (3-1)(6-1) = 2 x 5 = 10

++ Chercher la valeur critique de χ²  dans le tableau 

Pour 10 DL et la probabilité 0.005 la valeur de χ²  dans le tableau  est égale à 25,18818 ce qui est largement inférieur à la statistique de khi-carré dans notre tableau.

Donc on peut dire qu'avec la probabilité supérieur à 99,5% il y a une association entre l'âge et la duréé d'occupation de logement.

En travaillant dans l'Excel on peut trouver la valeur critique de khi-carré avec la fonction  =KHIDEUX.INVERSE("probabilité";"degrés_liberté").

Dans notre cas =KHIDEUX.INVERSE(0.005;10) = 25,18805486

5. Pour niveler l'effet du nombre d'observations, on calcule le coefficient χ²  standardisé de Pearson (coefficient de contingence - C) et le coefficient  f_c de Cramér (fi de Cramér) :

       χ²  standardisé ou coefficient C de contingence de Pearson

     f_c le coefficient  de Cramér (fi de Cramér)

où k est la plus petite valeur entre le nombre de ligne (6 dans cet exercice) et de colonne (3 dans cette exercice).

On voit que l'association entre les deux variables est importante, mais pas très forte.

Rappel:

Dans le cas des tableaux 2 x 2  on peut utiliser comme une mesure d'association des statistique assez simples comme f ou f^²

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